微分積分例

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\log (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (10)}$ です。

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14.2

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14.3

$1$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14.4

$0$ を $2$ で割ります。

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$x^{0}$ を簡約します。

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15.2

$2$ を $\ln (10)$ の左に移動させます。

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

ステップ 17

$\log (x^{\frac{1}{2}})$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 18.2

項をまとめます。

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ステップ 18.2.1

$2$ と $\frac{1}{2 \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 18.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 18.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 18.3

項を並べ替えます。

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$

微分積分 例

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