微分積分例

$y = 3 x^{2} + 7 e^{2 x}$

ステップ 1

総和則では、 $3 x^{2} + 7 e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

ステップ 2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{2 x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$6 x + 7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$6 x + 7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 x + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$6 x + 7 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$6 x + 7 (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$6 x + 7 (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 3.7

$2$ に $7$ をかけます。

$6 x + 14 e^{2 x}$

微分積分 例

微分積分例