微分積分例

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ を ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{2} + 1$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 7.4

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

ステップ 7.5

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

ステップ 7.6

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $2 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

ステップ 13.2

$4$ と $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

ステップ 13.3

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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