微分積分例

$y = 3 e^{2 x} \arcsin (x)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{2 x} \arcsin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = \arcsin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$3 (e^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 4

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

ステップ 6.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (2 \cdot e^{2 x}))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$3 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$3$ と $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

ステップ 7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 6 \arcsin (x) e^{2 x}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$6 e^{2 x} \arcsin (x) + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

微分積分 例

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