微分積分例

$y = 3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$

ステップ 1

総和則では、 $3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{4 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$3 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$3 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 2.7

$4$ に $3$ をかけます。

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x$ とします。

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\log_{5} (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\log_{5} (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2} \ln (5)}$ です。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{u_{2} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$7$ に $1$ をかけます。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \cdot 7$

ステップ 3.5

$\frac{1}{7 x \ln (5)}$ と $7$ をまとめます。

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

ステップ 3.6

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$12 e^{4 x} + \frac{1}{x \ln (5)}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x \ln (5)} + 12 e^{4 x}$

微分積分 例

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