微分積分例

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

ステップ 1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

ステップ 1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

ステップ 1.3

総和則では、 $4 x + \ln (x^{4})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ です。

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

ステップ 1.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

ステップ 1.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

ステップ 1.6

$4$ に $1$ をかけます。

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

ステップ 3.2.2

$\frac{4}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

ステップ 3.2.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$3 (4 + \frac{4}{x})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$12 + 3 \frac{4}{x}$

ステップ 4.2.2

$3$ と $\frac{4}{x}$ をまとめます。

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

ステップ 4.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 + \frac{12}{x}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{12}{x} + 12$

微分積分 例

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