微分積分例

$y = 2 x^{2} e^{- x}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$2 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$2 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$2 (x^{2} (- e^{- x})) + 2 (e^{- x} (2 x))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (x^{2} (e^{- x})) + 2 (e^{- x} (2 x))$

ステップ 5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{2} e^{- x} + 4 e^{- x} x$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x$

ステップ 5.4

$- 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x^{2} e^{- x} + 4 x e^{- x}$

微分積分 例

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