微分積分例

$y = \arccos (\frac{2 x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}])$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 9

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ に $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ をかけます。

$- \frac{(1 - x^{2}) \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

ステップ 11

$2$ を $1 - x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

積の法則を $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.4

各項を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.5

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.6

分子を簡約します。

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ステップ 12.6.1

$2$ を $2 - 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 12.6.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1) - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.6.1.2

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1) + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.6.1.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7

分母を簡約します。

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ステップ 12.7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3

因数分解した形で $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ を書き換えます。

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ステップ 12.7.3.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - {(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1 + x^{2}$ であり、 $b = 2 x$ です。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 2 x) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3

簡約します。

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ステップ 12.7.3.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 12.7.3.3.1.1

項を並べ替えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

ステップ 12.7.3.3.1.4

多項式を書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.1.5

$a = 1$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 12.7.3.3.2.1

項を並べ替えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

ステップ 12.7.3.3.2.4

多項式を書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.3.3.2.5

$a = 1$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.4

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 12.7.5

$\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ を ${(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

ステップ 12.7.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

ステップ 12.8

${(1 + x^{2})}^{2}$ と $\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

ステップ 12.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 12.9.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ を約分します。

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ステップ 12.9.1.1

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

ステップ 12.9.1.2

$1$ を掛けます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

ステップ 12.9.1.3

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

ステップ 12.9.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}{1}}$

ステップ 12.9.2

$((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}$

ステップ 12.10

$1 + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.10.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

ステップ 12.10.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

ステップ 12.11

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.11.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

ステップ 12.11.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{1 + x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例