微分積分例

$y = \cos (x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \sin (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \sin (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (x^{2} + 1) (2 x)$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (x^{2} + 1) x$

ステップ 2.4.3

$- 2 \sin (x^{2} + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x \sin (x^{2} + 1)$

微分積分 例