微分積分例

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{x - 1}$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

項を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.4

式を簡約します。

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ステップ 3.6.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

ステップ 3.6.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.4.4

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ に $1$ をかけます。

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.5

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ と $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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