微分積分例

$y = \cos (\frac{x - 1}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 1}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 1}{x + 1}$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ と $\sin (\frac{x - 1}{x + 1})$ をまとめます。

$- \frac{(x + 1 - (x - 1)) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{(x + 1 - x - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$- \frac{(0 + 1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{(1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{(1 + 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例