微分積分例

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{e^{2 x}}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{e^{2 x}}{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{2 x}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$2$ と $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 4.5

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{e^{2 x}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.2

${(e^{2 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

ステップ 5.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

ステップ 5.3.4

$3$ と $\frac{e^{4 x}}{9}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

ステップ 5.3.5

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$3$ を $3 e^{4 x}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

ステップ 5.4.2

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

ステップ 5.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

ステップ 5.4.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

ステップ 5.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

ステップ 5.6

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1

$\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

ステップ 5.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

ステップ 5.6.3

$\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$

微分積分 例

微分積分例