微分積分例

$y = \arcsin (\sqrt{2 x})$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.3

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ を $\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 12.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

積の法則を $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 13.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.2

指数を求めます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 13.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{1})} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x)} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$

ステップ 13.4

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$ に $\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$ をかけます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$

ステップ 13.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 13.5.1

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$ に $\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x} \sqrt{1 - 2 x}}$

ステップ 13.5.2

$\sqrt{1 - 2 x}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{1 - 2 x} \sqrt{1 - 2 x})}$

ステップ 13.5.3

$\sqrt{1 - 2 x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - 2 x}}^{1} \sqrt{1 - 2 x})}$

ステップ 13.5.4

$\sqrt{1 - 2 x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - 2 x}}^{1} {\sqrt{1 - 2 x}}^{1})}$

ステップ 13.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - 2 x}}^{1 + 1}}$

ステップ 13.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - 2 x}}^{2}}$

ステップ 13.5.7

${\sqrt{1 - 2 x}}^{2}$ を $1 - 2 x$ に書き換えます。

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ステップ 13.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - 2 x}$ を ${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 13.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.5.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{1}}$

ステップ 13.5.7.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x)}$

微分積分 例

微分積分例