微分積分例

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = {(π x)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(π x)}^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(π x)}^{4}$ で置き換えます。

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

ステップ 3.4

${(π x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $π x$ に当てはめます。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

ステップ 4.2

積の法則を $π x$ に当てはめます。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$π$ を $1$ 乗します。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

ステップ 4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

ステップ 4.3.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

ステップ 4.4

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ の因数を並べ替えます。

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$

微分積分 例

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