微分積分例

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x + \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + \frac{π}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x + \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

ステップ 2.3

$\frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{(x + \frac{π}{2})}^{2} + 1}$

微分積分 例