微分積分例

$y = \arctan (\sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 3

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

微分積分 例