微分積分例

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

ステップ 1

総和則では、 $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 2.6

$4$ を $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ です。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{2} + 16}$ を ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 16$ とします。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 16$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

ステップ 3.4

総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

ステップ 3.6

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

ステップ 3.7

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

ステップ 3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

ステップ 3.9

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

ステップ 3.10

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

ステップ 3.11

${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

ステップ 3.12

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

ステップ 3.13

$2$ を ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

ステップ 3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 3.15

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 3.15.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$4$ と $\frac{x^{2}}{16}$ をまとめます。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 4.3.6

$\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.7.1

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ に $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4.3.7.2

$\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ に $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

ステップ 4.3.7.3

$(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

ステップ 4.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

微分積分 例

微分積分例