微分積分例

$y = \arctan (x^{7})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{7}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{7}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{7})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{7})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{7 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.1.2

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{14}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{14}} (7 x^{6})$

ステップ 2.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$7$ と $\frac{1}{1 + x^{14}}$ をまとめます。

$\frac{7}{1 + x^{14}} x^{6}$

ステップ 2.3.2

$\frac{7}{1 + x^{14}}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$\frac{7 x^{6}}{1 + x^{14}}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{7 x^{6}}{x^{14} + 1}$

微分積分 例