微分積分例

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 1

${(3 x - 1)}^{2}$ を $(3 x - 1) (3 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 1) (3 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

ステップ 3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

ステップ 4

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ です。

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

ステップ 5

$f (x) = x$ および $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $9 x^{2} - 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.4

$2$ に $9$ をかけます。

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.5

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.9

$18 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

ステップ 6.11

$9 x^{2} - 6 x + 1$ に $1$ をかけます。

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.5

$18$ に $- 6$ をかけます。

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.6

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.7

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.8

$9$ に $- 6$ をかけます。

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.9

$- 108 x^{2}$ から $54 x^{2}$ を引きます。

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.10

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.11

$36 x$ と $36 x$ をたし算します。

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

ステップ 7.3.12

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$

微分積分 例

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