微分積分例

$y = 6 \sqrt{4 + x}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 + x}$ を ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 + x$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 + x$ で置き換えます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$6 (\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$6 (\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

ステップ 11

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 + x]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

ステップ 13

総和則では、 $4 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 17

式を簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

項を並べ替えます。

$\frac{3}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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