微分積分例

$y = \sin (\frac{3}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{3}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3}{x}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{3}{x}) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{3}{x}) (3 (- x^{- 2}))$

ステップ 2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 x^{- 2})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{3}{x}) (- 3 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{3}{x}) \frac{- 3}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (\frac{3}{x}) (- \frac{3}{x^{2}})$

ステップ 3.2.3

$\cos (\frac{3}{x})$ と $\frac{3}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{3}{x}) \cdot 3}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ を $\cos (\frac{3}{x})$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cos (\frac{3}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例

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