微分積分例

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

ステップ 1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x - \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.4

項をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.4.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5.4.5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

ステップ 5.4.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

ステップ 5.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

ステップ 5.4.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

ステップ 5.6

$\sec (x)$ を $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$\sec (x)$ を $x \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

ステップ 5.6.2

$\sec (x)$ を $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

ステップ 5.6.3

$1$ を掛けます。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

ステップ 5.6.4

$\sec (x)$ を $- \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

ステップ 5.6.5

$\sec (x)$ を $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

ステップ 5.6.6

$\sec (x)$ を $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

ステップ 5.6.7

$\sec (x)$ を $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

ステップ 5.7

$1$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

ステップ 5.9

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 5.10

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

ステップ 5.11

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 5.12

$- \tan^{2} (x)$ から $\tan^{2} (x)$ を引きます。

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

ステップ 5.13

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

ステップ 5.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 5.15

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

微分積分 例

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