微分積分例

$y = \sec (\sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

ステップ 3.2

正弦と余弦に関して $\sec (\sin (x))$ を書き換えます。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

ステップ 3.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

ステップ 3.4

正弦と余弦に関して $\tan (\sin (x))$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

ステップ 3.5

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ に $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

ステップ 3.5.2

$\cos (\sin (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

ステップ 3.5.3

$\cos (\sin (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

ステップ 3.6

$\cos (\sin (x))$ を $\cos^{2} (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

ステップ 3.7

分数を分解します。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

ステップ 3.8

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ を積として書き換えます。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

ステップ 3.10.2

$\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ を $\sec (\sin (x))$ に変換します。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

ステップ 3.11

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ を $\tan (\sin (x))$ に変換します。

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$

微分積分 例

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