微分積分例

$y = \log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$

ステップ 1

総和則では、 $\log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\log (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.10

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.11

$2$ を $x^{\frac{1}{2}} \ln (10)$ の左に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \ln (10))} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.13.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{1} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 2.13.2

$2 x^{1} \ln (10)$ を簡約します。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x^{e}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{e}$ とします。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{e}]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{e}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

ステップ 3.2

$n = e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) (e x^{e - 1})$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$e x^{e - 1} \sec^{2} (x^{e}) + \frac{1}{2 x \ln (10)}$

微分積分 例

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