微分積分例

$y = \log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 1

$\log (5)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$ です。

$\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} - 2 x$ とします。

$\log (5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\log (5) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} - 2 x$ で置き換えます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

$\frac{5}{2}$ と ${(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\log (5) (\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

ステップ 7.2

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ と $\log (5)$ をまとめます。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x]$

ステップ 8

総和則では、 $3 x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 11

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 12

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \cdot 1)$

ステップ 14

式を簡約します。

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ステップ 14.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$

ステップ 14.2

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$(6 x - 2) \frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2}$

微分積分 例

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