微分積分例

$y = \sec (2 x) \tan^{2} (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = \sec (2 x)$ および $g (x) = \tan^{2} (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$\sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 3

$2$ を $\sec (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 4

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (2 x)}^{2 + 1} \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 7.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9

指数を足して $\tan^{2} (2 x)$ に $\tan (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$\tan (2 x)$ を移動させます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.2

$\tan (2 x)$ に $\tan^{2} (2 x)$ をかけます。

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ステップ 9.2.1

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 2} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ に $1$ をかけます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

ステップ 12.2

$2$ を $\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ の左に移動させます。

$4 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$

微分積分 例

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