微分積分例

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (e^{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (e^{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (e^{x})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

ステップ 2

$\frac{1}{\cos (e^{x})}$ を $\sec (e^{x})$ に変換します。

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{x}$ とします。

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\sec (e^{x})$ を書き換えます。

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

ステップ 5.3

$\frac{1}{\cos (e^{x})}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

ステップ 5.4

$\sin (e^{x})$ と $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

ステップ 5.5

分数を分解します。

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

ステップ 5.6

$\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ を $\tan (e^{x})$ に変換します。

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

ステップ 5.7

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$- e^{x} \tan (e^{x})$

微分積分 例

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