微分積分例

$y = \ln (\arctan (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\arctan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 3

$\frac{1}{\arctan (x)}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

ステップ 4.2

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

ステップ 4.4

$\arctan (x)$ を $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$\arctan (x)$ を $x^{2} \arctan (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

ステップ 4.4.2

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

ステップ 4.4.3

$\arctan (x)$ を $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$

微分積分 例