微分積分例

$y = \ln (\ln (x^{18}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x^{18})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x^{18})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x^{18})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{18})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{18}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{18}$ とします。

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{18}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{18}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (x^{18})} (\frac{1}{x^{18}} \frac{d}{d x} [x^{18}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{18}}$ に $\frac{1}{\ln (x^{18})}$ をかけます。

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} \frac{d}{d x} [x^{18}]$

ステップ 3.2

$n = 18$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})} (18 x^{17})$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$18$ と $\frac{1}{x^{18} \ln (x^{18})}$ をまとめます。

$\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})} x^{17}$

ステップ 3.3.2

$\frac{18}{x^{18} \ln (x^{18})}$ と $x^{17}$ をまとめます。

$\frac{18 x^{17}}{x^{18} \ln (x^{18})}$

ステップ 3.3.3

$x^{17}$ と $x^{18}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x^{17}$ を $18 x^{17}$ で因数分解します。

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{18} \ln (x^{18})}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$x^{17}$ を $x^{18} \ln (x^{18})$ で因数分解します。

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{17} \cdot 18}{x^{17} (x \ln (x^{18}))}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18}{x \ln (x^{18})}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$18$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{18})$ を展開します。

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

ステップ 4.2

$18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{18}{x (18 \ln (x))}$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x (\ln (x))}$

微分積分 例

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