微分積分例

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (6 x + 3)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (6 x + 3)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 6 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $6 x + 3$ とします。

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ に $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

ステップ 3.2

総和則では、 $6 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

ステップ 3.7.2

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

ステップ 3.7.3

項を並べ替えます。

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$

微分積分 例

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