微分積分例

$y = \ln (\sec (8 x) + \tan (8 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (8 x) + \tan (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (8 x) + \tan (8 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (8 x) + \tan (8 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x) + \tan (8 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (8 x) + \tan (8 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} \frac{d}{d x} [\sec (8 x) + \tan (8 x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\sec (8 x) + \tan (8 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (8 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ です。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (8 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x$ とします。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\sec (8 x) \tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\sec (8 x) \tan (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\sec (8 x) \tan (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (\sec (8 x) \tan (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 4.3.2

$8$ を $\sec (8 x) \tan (8 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \cdot (\sec (8 x) \tan (8 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (8 x)])$

ステップ 5

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $8 x$ とします。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 5.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1))$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + \sec^{2} (8 x) \cdot 8)$

ステップ 6.3.2

$8$ を $\sec^{2} (8 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \cdot \sec^{2} (8 x))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} (8 \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x))$ の因数を並べ替えます。

$(8 \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x)) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$8 \sec (8 x) \tan (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} + 8 \sec^{2} (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.3

$8 \sec (8 x) \tan (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.3.2

$\frac{8}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ と $\sec (8 x)$ をまとめます。

$\frac{8 \sec (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.3.3

$\frac{8 \sec (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ と $\tan (8 x)$ をまとめます。

$\frac{8 \sec (8 x) \tan (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} + 8 \sec^{2} (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.4

$8 \sec^{2} (8 x) \frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$\frac{1}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8 \sec (8 x) \tan (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} + \frac{8}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} \sec^{2} (8 x)$

ステップ 7.4.2

$\frac{8}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$ と $\sec^{2} (8 x)$ をまとめます。

$\frac{8 \sec (8 x) \tan (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)} + \frac{8 \sec^{2} (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.6

$8 \sec (8 x)$ を $8 \sec (8 x) \tan (8 x) + 8 \sec^{2} (8 x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.6.1

$8 \sec (8 x)$ を $8 \sec (8 x) \tan (8 x)$ で因数分解します。

$\frac{8 \sec (8 x) (\tan (8 x)) + 8 \sec^{2} (8 x)}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.6.2

$8 \sec (8 x)$ を $8 \sec^{2} (8 x)$ で因数分解します。

$\frac{8 \sec (8 x) (\tan (8 x)) + 8 \sec (8 x) (\sec (8 x))}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

ステップ 7.6.3

$8 \sec (8 x)$ を $8 \sec (8 x) (\tan (8 x)) + 8 \sec (8 x) (\sec (8 x))$ で因数分解します。

$\frac{8 \sec (8 x) (\tan (8 x) + \sec (8 x))}{\sec (8 x) + \tan (8 x)}$

微分積分 例

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