微分積分例

$y = \ln (\sin (2 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$\csc (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\csc (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\csc (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\csc (2 x) \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 4.3.2

$2$ を $\csc (2 x) \cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot (\csc (2 x) \cos (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2 \csc (2 x) \cos (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (2 x) \csc (2 x)$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\csc (2 x)$ を書き換えます。

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

ステップ 5.3

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin (2 x)} \cos (2 x)$

ステップ 5.3.2

$\frac{2}{\sin (2 x)}$ と $\cos (2 x)$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

ステップ 5.4

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

ステップ 5.5

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を $\cot (2 x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \cot (2 x)$

ステップ 5.6

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \cot (2 x)$

微分積分 例

微分積分例