微分積分例

$y = \ln (4 x^{2}) \cdot (- x^{3} - 4)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (4 x^{2})$ および $g (x) = - x^{3} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{3} - 4] + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{3} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\ln (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\ln (4 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (4 x^{2}) (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + 0) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 2.6

$- 3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2}$ とします。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ と $\frac{1}{4 x^{2}}$ をまとめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x^{2}} x$

ステップ 4.4.2

$x$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 4.4.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2 \cdot x}{x^{2}}$

ステップ 4.4.4

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 4.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 4.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 4.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - x^{3} \frac{2}{x} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{2}{x}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{3}}{x} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2.2.3

共通因数を約分します。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2.2.4

式を書き換えます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{2}}{1} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.2.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - (2 x^{2}) - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 \frac{2}{x}$

ステップ 5.2.4

$- 4$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{x}$

ステップ 5.2.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 8}{x}$

ステップ 5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{8}{x}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$- 2 x^{2} - 3 x^{2} \ln (4 x^{2}) - \frac{8}{x}$

微分積分 例

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