微分積分例

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $10 x^{2 - 5 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $10 x^{2 - 5 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{2 - 5 x}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ です。

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$10$ と $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ をまとめます。

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

ステップ 2.2.2

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

ステップ 3

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2 - 5 x}$ を $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

ステップ 3.2

$2 - 5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2 - 5 x})$ を展開します。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $(2 - 5 x) \ln (x)$ とします。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $(2 - 5 x) \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

ステップ 5

$e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ と $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ をまとめます。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

ステップ 6

$f (x) = 2 - 5 x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

ステップ 7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

総和則では、 $2 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

ステップ 8.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

ステップ 8.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ をたし算します。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 8.4

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

ステップ 8.6

式を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

ステップ 8.6.2

$- 5$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3

項をまとめます。

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ステップ 9.3.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3.2

$- 5$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3.3

$x$ と $\frac{- 5}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3.4

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

ステップ 9.3.5.2

$- 5$ を $1$ で割ります。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

ステップ 9.4

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.5

$\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ に $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ をかけます。

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6

分子を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6.2

$- 5$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6.4

$- 5 \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6.5

$- 5 \ln (x)$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.6.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.7

$\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ と $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.9

まとめる。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.10

指数を足して $x$ に $x^{2 - 5 x}$ を掛けます。

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ステップ 9.10.1

$x$ に $x^{2 - 5 x}$ をかけます。

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ステップ 9.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

ステップ 9.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

ステップ 9.10.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

ステップ 9.11

$(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

ステップ 9.12

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$

微分積分 例

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