微分積分例

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (5 x^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (5 x^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x^{2}$ とします。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $5 (x^{2})$ に当てはめます。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3.2.1.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3.2.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ に $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$5$ と $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

ステップ 3.6.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

ステップ 3.6.3

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

ステップ 4.2

$\arctan (5 x^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

ステップ 4.4

$\arctan (5 x^{2})$ を $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$\arctan (5 x^{2})$ を $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

ステップ 4.4.2

$1$ を掛けます。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

ステップ 4.4.3

$\arctan (5 x^{2})$ を $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$

微分積分 例

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