微分積分例

$y = \ln (\sec^{2} (x^{3})) - (\log (x^{2} + 1))$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (\sec^{2} (x^{3})) - (\log (x^{2} + 1))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec^{2} (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec^{2} (x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec^{2} (x^{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x^{3})$ とします。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x^{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.3.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.6

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x^{3})}$ を ${(\frac{1}{\sec (x^{3})})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sec (x^{3})})}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.7

正弦と余弦に関して $\sec (x^{3})$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x^{3})}})}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x^{3})}$ で割ります。

${(1 \cos (x^{3}))}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.9

$\cos (x^{3})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x^{3}) (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.10

$3$ に $2$ をかけます。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.11

$\sec (x^{3})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 (\sec^{1} (x^{3}) \sec (x^{3})) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.12

$\sec (x^{3})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 (\sec^{1} (x^{3}) \sec^{1} (x^{3})) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 {\sec (x^{3})}^{1 + 1} (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 \sec^{2} (x^{3}) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 2.15

$6$ を $\cos^{2} (x^{3})$ の左に移動させます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \log (x^{2} + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\log (x^{2} + 1)]$ です。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\log (x^{2} + 1)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{4}} [\log (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.2.2

$u_{4}$ に関する $\log (u_{4})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{4} \ln (10)}$ です。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{u_{4} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.2.3

$u_{4}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x + 0))$

ステップ 3.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x))$

ステップ 3.7

$2$ と $\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$ をまとめます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{2}{(x^{2} + 1) \ln (10)} x)$

ステップ 3.8

$\frac{2}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$ と $x$ をまとめます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

ステップ 4.2

$\ln (10)$ に $1$ をかけます。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x^{3})$ を書き換えます。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) {(\frac{1}{\cos (x^{3})})}^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x^{3})}$ に当てはめます。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.3

$\cos^{2} (x^{3})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.3.1

$\cos^{2} (x^{3})$ を $6 x^{2} \cos^{2} (x^{3})$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 x^{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.3.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 x^{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.3.3

式を書き換えます。

$6 x^{2} \cdot 1^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$6 x^{2} \cdot 1 \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.5

$6$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.6

正弦と余弦に関して $\tan (x^{3})$ を書き換えます。

$6 x^{2} \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.7

$6 x^{2} \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.7.1

$6$ と $\frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{6 \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.7.2

$x^{2}$ と $\frac{6 \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (6 \sin (x^{3}))}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.4.8

$6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{6 x^{2} \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

分数を分解します。

$\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.5.2

$\frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ を $\tan (x^{3})$ に変換します。

$\frac{6 x^{2}}{1} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

ステップ 4.5.3

$6 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

微分積分 例

微分積分例