微分積分例

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$2$ を $\sec^{2} (x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.4

$- 2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 7.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 7.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 7.7

$\sin (x)$ と $\frac{2}{\cos (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

ステップ 7.8

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.9

分数を分解します。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 7.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

ステップ 7.11

$2$ を $1$ で割ります。

$- (2 \tan (x))$

ステップ 7.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \tan (x)$

微分積分 例

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