微分積分例

$y = \ln (| \cos (\ln (x)) |)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | \cos (\ln (x)) |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| \cos (\ln (x)) |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| \cos (\ln (x)) |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

ステップ 2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = \cos (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (\ln (x))$ とします。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (\ln (x))$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

ステップ 3

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |}$ に $\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |}$ をかけます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) | | \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 5

$\cos (\ln (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 6

$\cos (\ln (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos^{1} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| {\cos (\ln (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 9

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 10

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ と $\sin (\ln (x))$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 11

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 12

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ をかけます。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x | \cos^{2} (\ln (x)) |}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

絶対値から非負の項を削除します。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

ステップ 13.2

$\cos (\ln (x))$ と $\cos^{2} (\ln (x))$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

$\cos (\ln (x))$ を $\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.2.1

$\cos (\ln (x))$ を $x \cos^{2} (\ln (x))$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sin (\ln (x))}{x \cos (\ln (x))}$

ステップ 13.3

分数を分解します。

$- (\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))})$

ステップ 13.4

$\frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))}$ を $\tan (\ln (x))$ に変換します。

$- (\frac{1}{x} \tan (\ln (x)))$

ステップ 13.5

$\frac{1}{x}$ と $\tan (\ln (x))$ をまとめます。

$- \frac{\tan (\ln (x))}{x}$

微分積分 例

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