微分積分例

$y = \arctan (\sinh (8 x))$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \sinh (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sinh (8 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sinh (8 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\sinh (8 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sinh (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x$ とします。

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sinh (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sinh (u_{2})$ の微分係数は $\cosh (u_{2})$ です。

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (\cosh (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\cosh (8 x)$ と $\frac{1}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ をまとめます。

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 3.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} (8 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$8$ と $\frac{\cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ をまとめます。

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)} \cdot 1$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 \cosh (8 x)}{1 + \sinh^{2} (8 x)}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{8 \cosh (8 x)}{\sinh^{2} (8 x) + 1}$

微分積分 例

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