微分積分例

$y = \cosh (\ln (2 x^{3}))$

ステップ 1

$f (x) = \cosh (x)$ および $g (x) = \ln (2 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (2 x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cosh (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\cosh (u_{1})$ の微分係数は $\sinh (u_{1})$ です。

$\sinh (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (2 x^{3})$ で置き換えます。

$\sinh (\ln (2 x^{3})) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{3}$ とします。

$\sinh (\ln (2 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\sinh (\ln (2 x^{3})) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{3}$ で置き換えます。

$\sinh (\ln (2 x^{3})) (\frac{1}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2 x^{3}}$ と $\sinh (\ln (2 x^{3}))$ をまとめます。

$\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{2 x^{3}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ と $\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{2 x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 \sinh (\ln (2 x^{3}))}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sinh (\ln (2 x^{3}))}{2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 3.5

項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3$ と $\frac{\sinh (\ln (2 x^{3}))}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 \sinh (\ln (2 x^{3}))}{x^{3}} x^{2}$

ステップ 3.5.2

$\frac{3 \sinh (\ln (2 x^{3}))}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sinh (\ln (2 x^{3})) x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.5.3

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1

$x^{2}$ を $3 \sinh (\ln (2 x^{3})) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (2 x^{3})))}{x^{3}}$

ステップ 3.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (2 x^{3})))}{x^{2} x}$

ステップ 3.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (3 \sinh (\ln (2 x^{3})))}{x^{2} x}$

ステップ 3.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \sinh (\ln (2 x^{3}))}{x}$

微分積分 例

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