微分積分例

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 2.3.2

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 16 x$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{3} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 5.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 5.1.3.2

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 16 x$ です。

$4 x^{3} - 16 x$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 16 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

ステップ 6.2.1.2

$4 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 6.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 6.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 6.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 6.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.7

最終解は $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 16$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 16$

ステップ 10.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 16$

ステップ 10.2

$0$ から $16$ を引きます。

$- 16$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{2} + 16$

ステップ 12.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16$

ステップ 12.2.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 16$

ステップ 12.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 16$

ステップ 12.2.2.2

$0$ と $16$ をたし算します。

$f (0) = 16$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$y = 16$

ステップ 13

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 2)}^{2} - 16$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 4 - 16$

ステップ 14.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$48 - 16$

ステップ 14.2

$48$ から $16$ を引きます。

$32$

ステップ 15

$x = - 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 16

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 16 - 8 {(- 2)}^{2} + 16$

ステップ 16.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 16 - 8 \cdot 4 + 16$

ステップ 16.2.1.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 16 - 32 + 16$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$f (- 2) = - 16 + 16$

ステップ 16.2.2.2

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$f (- 2) = 0$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(2)}^{2} - 16$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 4 - 16$

ステップ 18.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$48 - 16$

ステップ 18.2

$48$ から $16$ を引きます。

$32$

ステップ 19

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 20

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 16$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 - 8 {(2)}^{2} + 16$

ステップ 20.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 16 - 8 \cdot 4 + 16$

ステップ 20.2.1.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 - 32 + 16$

ステップ 20.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$f (2) = - 16 + 16$

ステップ 20.2.2.2

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$f (2) = 0$

ステップ 20.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 21

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$ の極値です。

$(0, 16)$ は極大値です

$(- 2, 0)$ は極小値です

$(2, 0)$ は極小値です

ステップ 22

微分積分 例

微分積分例