微分積分例

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = 9 x^{2} - 1$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $9 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$18$ を $3 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ に $18$ をかけます。

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

$18$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$9$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$54 x^{2}$ から $27 x^{2}$ を引きます。

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を $27 x^{2} - 18 x + 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$3$ を $27 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$3$ を $3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

$3$ を $3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

ステップ 3.5.2.4

多項式を書き換えます。

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.5

$a = 3 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

${(3 x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $1$ で割ります。

$3$

微分積分 例

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