微分積分例

$y = \frac{9 x^{2} + 7}{x^{2} + 2}$

ステップ 1

$f (x) = 9 x^{2} + 7$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7] - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $9 x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} + 2) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 2) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + \frac{d}{d x} [7]) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 2) (18 x) - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$18$ を $x^{2} + 2$ の左に移動させます。

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - (9 x^{2} + 7) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 (x^{2} + 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 2) x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2} + 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 7) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 2 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$18$ に $2$ をかけます。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 7 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

$- 2$ に $7$ をかけます。

$\frac{18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$18 x^{3} + 36 x - 18 x^{3} - 14 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.2.1

$18 x^{3}$ から $18 x^{3}$ を引きます。

$\frac{36 x + 0 - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$36 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{36 x - 14 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$36 x$ から $14 x$ を引きます。

$\frac{22 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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