微分積分例

$y = \frac{- 9 e^{5 x}}{4 x + 3}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}]$

ステップ 1.2

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$ です。

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{5 x}$ および $g (x) = 4 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 9 \frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$5$ を $(4 x + 3) e^{5 x}$ の左に移動させます。

$- 9 \frac{5 \cdot ((4 x + 3) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.4

総和則では、 $4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

$4$ に $1$ をかけます。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

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ステップ 4.9.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.9.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.9.3

$- 9$ と $\frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{9 ((5 (4 x) + 5 \cdot 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x} + 5 \cdot 3 e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$4$ に $5$ をかけます。

$- \frac{9 (20 x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

$20$ に $9$ をかけます。

$- \frac{180 (x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

$5$ に $3$ をかけます。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 9 (15 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$15$ に $9$ をかけます。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$- 4$ に $9$ をかけます。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} - 36 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$135 e^{5 x}$ から $36 e^{5 x}$ を引きます。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.5

$9 e^{5 x}$ を $180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$9 e^{5 x}$ を $180 x e^{5 x}$ で因数分解します。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

$9 e^{5 x}$ を $99 e^{5 x}$ で因数分解します。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

$9 e^{5 x}$ を $9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)$ で因数分解します。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x + 11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

微分積分 例

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