微分積分例

$y = e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 2.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x + 1}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ です。

$2 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$2 e^{2 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + 0))$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \cdot 1)$

ステップ 3.7

$e^{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

微分積分 例

微分積分例