微分積分例

$y = e^{2 \sin (3 x)}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 \sin (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 \sin (3 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 \sin (3 x)$ で置き換えます。

$e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [2 \sin (3 x)]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (3 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ です。

$e^{2 \sin (3 x)} (2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 2.2

$2$ を $e^{2 \sin (3 x)}$ の左に移動させます。

$2 \cdot e^{2 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$2 e^{2 \sin (3 x)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x) \cdot 1$

ステップ 4.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6 e^{2 \sin (3 x)} \cos (3 x)$

微分積分 例

微分積分例