微分積分例

$y = e^{x^{2}} + x^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{x^{2}} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x) + 3 x^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$

ステップ 4.2

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} + 2 x e^{x^{2}}$

微分積分 例