微分積分例

$y = \frac{9 \ln (x + 7)}{x^{2}}$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9 \ln (x + 7)}{x^{2}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 7)}{x^{2}}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 7)}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x + 7)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 7)] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 7$ とします。

$9 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 7} \frac{d}{d x} [x + 7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 7}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} \frac{d}{d x} [x + 7] - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.2

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (1 + \frac{d}{d x} [7]) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.4

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} (1 + 0) - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} \cdot 1 - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{x^{2}}{x + 7}$ に $1$ をかけます。

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6

$\frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ に $\frac{x + 7}{x + 7}$ をかけます。

$9 (\frac{x + 7}{x + 7} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

まとめる。

$9 \frac{(x + 7) (\frac{x^{2}}{x + 7} - \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$9 \frac{(x + 7) \frac{x^{2}}{x + 7} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 7.3

$x + 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{(x + 7) \frac{x^{2}}{x + 7} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- \ln (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- \ln (x + 7) (2 x))}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$9 \frac{x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x)}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 9.2

$9$ と $\frac{x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x)}{(x + 7) x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{9 (x^{2} + (x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{(x + 7) x^{4}}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- 2 \ln (x + 7) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x + 7)$ を簡約します。

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 7) (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (x (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x) + 7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) + 7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4

$7 (- \ln ({(x + 7)}^{2}) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.4.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - 7 (\ln ({(x + 7)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4.2

$\ln ({(x + 7)}^{2})$ と $- 7$ を並べ替えます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - 7 \cdot \ln ({(x + 7)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4.3

対数の中の $7$ を移動させて $- 7 \cdot \ln ({(x + 7)}^{2})$ を簡約します。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 7)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.2

${({(x + 7)}^{2})}^{7}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({(x + 7)}^{2 \cdot 7}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}) - \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.7

$9 (- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.7.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - 9 (x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.7.2

対数の中の $9$ を移動させて $- 9 \ln ({(x + 7)}^{2})$ を簡約します。

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) + 9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8

$9 (- \ln ({(x + 7)}^{14}) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.8.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - 9 (\ln ({(x + 7)}^{14}) x)}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8.2

$\ln ({(x + 7)}^{14})$ と $- 9$ を並べ替えます。

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - 9 \cdot \ln ({(x + 7)}^{14}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8.3

対数の中の $9$ を移動させて $- 9 \cdot \ln ({(x + 7)}^{14})$ を簡約します。

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9})) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 7)}^{2})}^{9}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.2

${({(x + 7)}^{2})}^{9}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{2 \cdot 9}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({({(x + 7)}^{14})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.3

${({(x + 7)}^{14})}^{9}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{14 \cdot 9}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.3.2

$14$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}) x}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.3.2

$9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x \cdot x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{1} x^{4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{1 + 4} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.5

$x$ を $9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$x$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x) - x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18}) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.5.2

$x$ を $- x^{2} \ln ({(x + 7)}^{18})$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18})) - x \ln ({(x + 7)}^{126})}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.5.3

$x$ を $- x \ln ({(x + 7)}^{126})$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.5.4

$x$ を $x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 7)}^{18}))$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.5.5

$x$ を $x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 7)}^{126}))$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{5} + 7 x^{4}}$

ステップ 10.6

$x^{4}$ を $x^{5} + 7 x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} x + 7 x^{4}}$

ステップ 10.6.2

$x^{4}$ を $7 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 7}$

ステップ 10.6.3

$x^{4}$ を $x^{4} x + x^{4} \cdot 7$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 7)}^{18}) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} (x + 7)}$

ステップ 10.7

$18$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 7)}^{18})$ を展開します。

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - \ln ({(x + 7)}^{126}))}{x^{4} (x + 7)}$

ステップ 10.8

$126$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 7)}^{126})$ を展開します。

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x^{4} (x + 7)}$

ステップ 10.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

$x$ を $x^{4} (x + 7)$ で因数分解します。

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x (x^{3} (x + 7))}$

ステップ 10.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7)))}{x (x^{3} (x + 7))}$

ステップ 10.9.3

式を書き換えます。

$\frac{9 x - x (18 \ln (x + 7)) - (126 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.1

$18$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 7) - 1 \cdot 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.2

$- 1$ に $126$ をかけます。

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.3

$9$ を $9 x - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.3.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{9 (x) - 18 x \ln (x + 7) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.3.2

$9$ を $- 18 x \ln (x + 7)$ で因数分解します。

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7)) - 126 \ln (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.3.3

$9$ を $- 126 \ln (x + 7)$ で因数分解します。

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.3.4

$9$ を $9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 7))$ で因数分解します。

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

ステップ 10.10.3.5

$9$ を $9 (x - 2 x \ln (x + 7)) + 9 (- 14 \ln (x + 7))$ で因数分解します。

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 7) - 14 \ln (x + 7))}{x^{3} (x + 7)}$

微分積分 例

微分積分例