微分積分例

$y = \cos^{5} (2 x^{2} - 9)$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \cos (2 x^{2} - 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 x^{2} - 9)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 x^{2} - 9)$ で置き換えます。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{2} - 9$ とします。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{2} - 9$ で置き換えます。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + 0)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x)$

ステップ 3.7.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$

ステップ 3.7.3

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$ の因数を並べ替えます。

$- 20 x \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9)$

微分積分 例

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