微分積分例

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (\ln (2 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (\ln (2 x))$ で置き換えます。

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (2 x)$ とします。

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (2 x)$ で置き換えます。

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.2

$u_{3}$ に関する $\ln (u_{3})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{3}}$ です。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2 x}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2

項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{- 2}{2 x}$ と $\cos (\ln (2 x))$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.2

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ と $\sin (\ln (2 x))$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ を $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

分数をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2

$- 2$ と $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

ステップ 5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$2 \cos (\ln (2 x))$ と $\sin (\ln (2 x))$ を並べ替えます。

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

ステップ 6.2

$\sin (\ln (2 x))$ と $2$ を並べ替えます。

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

ステップ 6.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

ステップ 6.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 x)$ を簡約します。

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

ステップ 6.5

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

ステップ 6.6

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$

微分積分 例

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